Vielteilchenbeschreibung von Plasmen
Plasmen sind Vielteilchen-Systeme
(GO 1020 Teilchen, langreichweitige Coulomb-Wechselwirkung)
Einzelteilchenbeschreibung nicht praktikabel
Führt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen
(BBGKY-Hierarchie)
Problem der statistischen Mechanik: Verteilungsfunktionen
Bsp.:
Vielteilchenbeschreibung von Plasmen
...
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Vereinfachung: Cluster-Entwicklung
Abbruch der Hierarchie an geeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation
Aber Vorsicht: in Plasmen langreichweitige Wechselwirkung!
Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße
1-Teilchen-Verteilungsfunktion
Dichte der Teilchen einer Sorte aus Verteilungsfunktion:
Zahl der Teilchen im Phasenraum d3r d3v:
Teilchenzahl-Erhaltung im System:
Ohne Teilchenquellen und –senken im System folgt:
Einschub: Euler- und Lagrange-Bild
Euler:
ortsfestes Koord.system
Lagrange:
mitbewegtes System
1-Teilchen-Verteilungsfunktion
Aufspaltung der Wechselwirkung zwischen Teilchen in mittleres Feld und“Stoßterme”:
Kraft durch mittleres Feld (durch Plasmateilchen erzeugt bzw. extern):
Die Vlasov-Gleichung
Keine Teilchenstöße:
Mittlere Felder aus:
Poisson-Gleichung:
Maxwell-Gleichungen:
Stromdichte
Landau-Dämpfung
Elektrostatische Plasmaschwingungen in x-Richtung, Ionen unbeweglich
+
+
+
+
+
+
+
+
x
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
kleine Auslenkungen: f = f0 + f1
nur gestörtes E-Feld: E = E1
Störungsansatz:
Ebene Wellen für Störgrößen:
liefert:
Landau-Dämpfung
E-Feld aus Poisson-Gleichung:
Mit und
folgt Dispersionsrelation
Für Maxwell-Verteilung:
Dämpfung ohne Stöße!
Prozess selbst ist stoßfrei, aber man braucht Stöße, um Verteilungsfunktion“wiederherzustellen”, Dämpfungsrate bleibt stoßfrei
Dämpfungsrate kannnegativ werden ->Instabilitäten
Landau-Dämpfung
Anschauliches Beispiel für nichtlineare Landau-Dämpfung
Landau-Dämpfung
Experimentelle Verifikation
Malmberg, Wharton, PRL 1966
Betrachte Stöße zwischen 2 Stoßpartnern:
Die Boltzmann-Gleichung
Gültigkeit beschränkt auf niedrigeDichte und kurzreichweitige Wewi(Neutralgas)
Kinetische Gleichung für Plasmen
Debye-Abschirmung:
Bewegungsgleichung für f2:
Fokker-Planck-Gleichung
• In idealen (nicht schwach ionisieren) Plasmen Kleinwinkelstößerelevant, nicht „starke“ Söße
• Wirkung der Stöße betrachtet als Abbremsung und langsame Diffusionim Geschwindigkeitsraum
Abbremsung durch Coulomb-Stöße
Abbremsen (statt Ablenken)
+
Abbremsung durch Coulomb-Stöße
Abbremsen (statt Ablenken)
+
Coulomb-Stöße: Energieaustausch
Rutherford-Streuformel:
Zahl der einströmenden Teilchen:
d
vtdt
Coulomb-Stöße: Energieaustausch
Coulomb-Stöße: Energieaustausch
Für endliche Masse der Hintergrundteilchen:
vt: Relativgeschwindigkeit
Abbremsung eines (thermischen) Teststrahls an Plasma
• thermische Elektronen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab
(Bedingung: vth,e >> vth,i)
• thermische Ionen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab
(Bedingung: Ti~Te)
• kein Unterschied für Teststrahl überthermischer Elektronen
• überthermische Ionen bremsen verstärkt an Elektronen ab, weil
Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma
Abbremsung eines Teststrahls an Plasma
Elektronenstrahl (mi/me=25)Ionenstrahl
Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma
Abbremsung an Ionen,
Relativgeschwindigkeit
Abbremsung
an Elektronen
Abbremsung an Ionen
Abbremsung
an Elektronen
Neben Abbremsung auch Ablenkung der Testteilchen
Abbremsung an Coulomb-Potential in Stoßterm der Fokker-Planck-Gleichung:
Im Ortsraum war früher:
Analog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion imGeschwindigkeitsraum:
Diffusion im Geschwindigkeitsraum
Analog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion imGeschwindigkeitsraum:
Fokker-Planck-Stoßterm:
Fokker-Planck-Gleichung:
Für Teststrahl, abgebremst amHintergrundplasma:
Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung
Leichte Test-Teilchen:
• Impulsübertrag stark an schwerenHintergrundteilchen
• Abbremsung verbunden mit starkemAufbau von Senkrechtenergie
Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung
Für große Geschwindigkeit des Test-Strahls:
• Kleine Masse der Testteilchen: Energie-und Impulsaustausch an Hintergrundteilchen
• Große Masse der Testteilchen: Energie- aber kaum Impulsaustausch an Hintergrundteilchen
Diffusion im Geschwindigkeitsraum
q (
Wärme
)
(
Teilchen
)
ext
.
Heizung
Strahlung
f(u)
u
log f(u)
u (
eV
)
1
0,1
0,01
Heizung
u
W
inel
.
inelastische
Stöße
Bsp.: räumlich homogenes GG: f/ r=0
Inelatische Stöße, keine e-e-Stöße
(geringer Ionisationsgrad!)
elastische Stöße
Ionisation
Strahlung
inelastische Stöße
Änderung der Verteilungsfunktion durch inelastische Stöße
Verteilungsfunktion für Ar-Plasma
Abweichung von Maxwell-Verteilung durch inelastischeStöße
Zusammenfassung
• Statistische Beschreibung von Plasmen mit Hilfe von Verteilungsfunktionenführt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen
(BBGKY-Hierarchie)
• Vereinfachung: Cluster-Entwicklung Abbruch der Hierarchie angeeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation
Problem in Plasmen: langreichweitige Wechselwirkung!
Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße
Kinetische Gleichung:
stoßfrei
Die Vlasov-Gleichung
trotzdem Dämpfung (Landau-Dämpfung)
Berücksichtigung von Stößen
Boltzmann-Gleichung: Zweier-Stöße berücksichtigt
v.a. geeignet für Neutralgase geringer Dichten
in Plasmen: - langreichweitige Wechselwirkung (Coulomb-Potential)
- v.a. Kleinwinkelstöße relevant
Fokker-Planck-Gleichung:
Abbremsung und Diffusion imGeschwindigkeitsraum
Diffusion im Geschwindigkeitsraum
Zunächst: Diffusion im Ortsraum (schon früher behandelt)
Teilchenfluß durch Diffusionsansatz:
falls für t=0 - Funktion in x erhält manGauß-Verteilung:
Einschub: Euler- und Lagrange-Bild in Hydrodynamik
Mit Kraftdichte zerlegt in externen Anteil und Kraftdichte durch benachbarteMassenelemente, folgt Euler-Gleichung:
Änderung des Bewegungszustandes ohne Kraft möglich, aber auchStationarität trotz Kraft
Beispiele