Diskrete Mathematik
Angelika Steger
Institut für Theoretische Informatik
steger@inf.ethz.ch
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Algebra
Kapitel 3:
Kapitel 3.1:
Modulare Arithmetik
kongruent modulo m
a ≡ b (mod m) gdw. m teilt a-b
Schreibweise:
a mod m := Zahl r Î {0,…,m-1} mit
a ≡ r (mod m)
„Rest von a modulo m“
Beachte:
a ≡ b (mod m) gdw. (a mod m) = (b mod m)
Multiplikation & Kürzen
Für Zahlen a,b,c,d ÎZ, c ¹ 0, gilt:
a ∙ c = b ∙ c gdw. a = b
Bei der Modulo-Rechnung folgt aus
a ∙ c ≡ b ∙ c (mod m)
im Allgemeinen nicht, dass
a ∙ c ≡ b ∙ c (mod m).
Bsp: 1 ∙ 2 ≡ 4 ∙ 2 (mod 6), aber 1 ≡ 4 (mod 6).
Dies gilt nur, wenn ggT(c,m)=1 und m ³ 2.
Modulorechnung - Beispiele
•ISBN
International Standard Book Number
•EAN
European Article Number
•MDi
Message-Digest Verfahren
ISBN
10 – stellige Nummer, bestehend aus
•einem Länder- bzw. Sprachgruppenkode,
z.B. 0 für Verlage aus englischsprachigenLändern und 3 für Verlage aus Deutschland,Österreich und der Schweiz,
•einer Verlagsnummer,
•einer laufenden Nummer innerhalb desVerlagprogramms, die von den Verlagen selbstvergeben werden kann, und
•einer Prüfziffer.
ISBN - Beispiel
ISBN
3-540-67597-3
Prüfziffer
Berechnung der Prüfziffer:
1∙3 + 2∙5 + 3∙4 + 4∙0 + 5∙6 + 6∙7 + 7∙5 + 8∙9 + 9∙7 mod 11
ISBN - Eigenschaften
Die Prüfziffer erkennt
•Tippfehler
Bsp: Schreibt man
3-540-67587-3 statt 3-540-67597-3
so stimmt die Prüfziffer nicht.
•Zahlensturz (Vertauschung zweier Ziffern)
Bsp: Schreibt man
3-540-67579-3 statt 3-540-67597-3
so stimmt die Prüfziffer nicht.
EAN
13-stellige Nummer, bestehend aus
•der so genannten Basisnummer, die in derSchweiz von der Organisation GS1Schweiz vergeben wird,
•eine vom Hersteller vergebeneArtikelnummer und eine
•Prüfziffer.
EAN - Beispiel
EAN
7-617400-010022
Prüfziffer
Berechnung der Prüfziffer: (von hinten lesen)
10 - 1∙2 + 3∙2 + 1∙0 + 3∙0 + 1∙1 + 3∙0 + 1∙0 +
3∙0 + 1∙4 + 3∙7 + 1∙1 + 3∙6 mod 10
EAN - Eigenschaften
Die Prüfziffer erkennt
•Tippfehler
•und manchmal einen Zahlensturz …
MDi
Idee:
Berechne einen „Fingerabdruck“ einerNachricht durch geschickte Kombinationvon Modulo-Berechnungen undBitoperationen wie Shifts und ANDs undORs ….
Kapitel 3.1.2:
Euklidischer Algorithmus
Euklidischer Algorithmus
Erweiterter Euklidischer Algorithmus
Lösen linearer Gleichungen
Chinesischer Restsatz
Der „kleine“ Satz von Fermat
Kapitel 3.2:
Gruppen
Beispiel
Neutrales Element: c
Permutationen
Rechenregeln
